M-SOLUTIONS プロコンオープン C - Best-of-(2n-1)

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C - Best-of-(2n-1)

考察

期待値DPがしたい
E[i][j] := 高橋くんがi 回、青木くんがj 回勝っている状態からどちらかがN回勝つまでに行われるゲームの回数の期待値。

とすると、期待値DPの通常の手続きで解ける、がO(N ) は通らない。

タイトルに注目
どうにかして次元を削減しようと考えつつ、ふとタイトルを見てみると、高橋くんと青木くんが勝つ回数の和は最大で2N - 1 であることに気づく。

上と同じ手続きで、E(i) := 高橋くんと青木くんが合わせてi 回勝っている状況から、二人が合わせて2N - 1 回勝つまでに行われるゲームの回数の期待値。は求められる。これは少し都合の良いように変更すると、

E(i) := 二人が合わせて2N - 1 - i 回勝つまでに行われるゲームの回数の期待値。となり、具体的な式は、

E(i) =

（これはいつもの期待値DPのようにメモ化再帰で解く必要もない、簡単に解ける漸化式になってしまった。）

さて、二人が合わせてX 回勝つまでに行われるゲームの回数の期待値が求まると、N <= X <= 2N - 1 の範囲で、X 回目に高橋くん（青木くん）が勝利し、ゲームが終了する確率を求めることができればオッケーなことがわかる（期待値の線形性？）。

X回目に高橋くんが勝利し、ゲームが終了するという確率は、

となるので、求めるものは結局、

実装

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define rep1(i,n) for(int i=1;i<=n;++i)
using namespace std;
template<class T>bool chmax(T &a, const T &b) { if(a < b){ a = b; return 1; } return 0; }
template<class T>bool chmin(T &a, const T &b) { if(a > b){ a = b; return 1; } return 0; }
typedef long long ll;
const ll MOD=1e+9+7;
struct mint{
  ll x;
  mint(ll x=0):x(x%MOD){}
  mint& operator+=(const mint a){
    if((x+=a.x)>=MOD) x-=MOD;
    return *this;
  }
  mint& operator-=(const mint a){
    if((x += MOD-a.x)>=MOD) x-=MOD;
    return *this;
  }
  mint& operator*=(const mint a){
    (x*=a.x)%=MOD;
    return *this;
  }
  mint operator+(const mint a) const{
    mint res(*this);
    return res+=a;
  }
  mint operator-(const mint a) const{
    mint res(*this);
    return res-=a;
  }
  mint operator*(const mint a) const{
    mint res(*this);
    return res*=a;
  }
  mint pow(ll t) const{
    if(!t) return 1;
    mint a = pow(t>>1);
    a*=a;
    if(t&1) a*=*this;
    return a;
  }
  
  //for prime mod
  mint inv() const{
    return pow(MOD-2);
  }
  mint& operator/=(const mint a){
    return (*this) *= a.inv();
  }
  mint operator/(const mint a) const{
    mint res(*this);
    return res/=a;
  }
};

const int NMAX=200010; // we can calculate nCk until n is equal to NMAX
mint fact[NMAX],infac[NMAX];
void Make_Fact(){
  fact[0]=fact[1]=1;
  for(int i=2;i<=NMAX-1;++i){
    fact[i]=fact[i-1]*(mint)i;
  }
}
void Make_InvFact(){
  infac[0]=infac[1]=1;
  for(int i=2;i<=NMAX-1;++i){
    infac[i]=infac[i-1]/(mint)i;
  }
}
mint Comb(int n,int k){
  if(n<0||k<0||n-k<0) return 0;
  return fact[n]*infac[k]*infac[n-k];
}

vector<mint> dp;
vector<bool> flag;

int main()
{
  int n; cin >> n;
  int a,b,c; cin >> a >> b >> c;

  dp.resize(2*n);
  flag.resize(2*n, false);
  flag[2*n - 1] = true;

  vector<mint> apow(n+1), bpow(n+1);
  apow[0].x = 1;
  bpow[0].x = 1;
  rep(i,n) apow[i+1] = apow[i] * (mint)a / (mint)(a+b);
  rep(i,n) bpow[i+1] = bpow[i] * (mint)b / (mint)(a+b);  
  
  auto rec = [&](auto f, int i) {
           if(flag[i]) return dp[i];
           flag[i] = true;        
           mint res = (mint)100 + (mint)(a+b) * f(f, i+1);
           res /= (mint)(100 - c);
           return dp[i] = res;
         };

  Make_Fact();
  Make_InvFact();

  rec(rec, 0);
  
  mint res = 0;
  for(int i = 0; i < n; ++i) {
    res += dp[i] * apow[n] * bpow[n-1-i] * Comb(2*n-i-2, n-1);
    res += dp[i] * apow[n-1-i] * bpow[n] * Comb(2*n-i-2, n-1);    
  }
  cout << res.x << "\n";
  return 0;
}